Hallar los puntos que disten de otros tres dados una distancia dada.

 Tres puntos determinan un plano c=Plano(A,B,C).

En este plano tenemos ABC que forman un triángulo.

El circuncentro P equidista de los vértices.

Trazar por P una recta r perpendicular al plano y esta recta es el l.g. De los puntos que equidistan de los vértices: tomando un punto Q de r y lo unimos con A se forma un triángulo APQ rectángulo. Hacemos lo mismo uniendo Q con B y tenemos el triángulo rectángulo BPQ y ambos triángulos son congruentes ya que son rectángulos con los catetos iguales PQ es común y Ap=BP por ser P circuncentro => QA=QB y análogamente QA=QB=QC..

Nos queda localizar sobre r el punto Q tal que QA = d.

PROCEDIMIENTO

Traza un plano = Plano perpendicular a AB por su punto medio: Nos ayudamos de una recta auxiliar horizontal por el punto medio de AB de modo que su proyección horizontal sea perpendicular a A'B' y prolongando hasta cortar LT levantar una perpendicular hasta cortar a la proyección vertical que es una recta paralela a LT y donde perpendicular y paralela se corten tenemos la traza de la recta auxiliar por donde trazamos una perpendicular a A''B'' => 2.

Donde corte a LT trazamos una per a A'B' => 1.

De forma análoga construimos el plano b por el punto medio de BC.

La intersección de ambos planos nos da una recta que es a la vez perpendicular a AB y BC luego es perpendicular al plano que determinan ( y definen un plano  pues son concurrentes en B) => r; y el punto de corte de la recta r con el plano  = Plano(ABC) será el punto P circuncentro del triángulo ya que la traza del plano  con  es una recta perpendicular a AB por su punto medio y análogamente para la traza de b con  => la intersección es un punto de r está en el plano ABC y es el corte de dos mediatrices luego es el circuncentro.

Para hallar el punto P

Trazar el plano  = Plano(ABC).

Con el plano auxiliar  proyectante horizontal por la recta r hallamos la recta intersección de los planos  con  y la intersección de esta recta con r dos da las proyecciones P'-P''.

No lo vemos pero tenemos los puntos A, P y la recta r y sabemos que en el espacio AP con r son perpendiculares y tenemos que encontrar un punto S en r de forma que APS sea un triángulo rectángulo en P y qie la hipotenusa AS sea de una longitud igual al dado d.

De este triángulo podemos conocer AP que es la distancia entre dos puntos y que calculamos en diédrico a partir de A'P' trazando una perpendicular por P' de longitud c= diferencia de coas entre A'' y P''=> A'2

Conocida AP en verdadera magnitud construimos un triángulo rectángulo: Por 2 trazar una perpendicular a A'2. Desde A' trazamos una arco de radio d hasta cortar a la perpendicular => h.

h = longitud en VM sobre la recta r a la que se sitúa el punto S que dista de A la distancia d.

Abatimos la recta r sobre el PH para tener las distancias en VM.

Para ello Por P' trazamos perpendicular a r' con una longitud igual a la cota de P y tenemos (P). Tomamos otro punto de r, por ejemplo el punto 1 trazamos la perpendicular a r' por 1' y en ella tomamos la longitud igual a la cota 1'' y tenemos (1).

Unimos (1) c0n (P) => (r).

Sobre (r) y a partir de (P) tomamos una longitud igual a h y tenemos (S1) y (S2) que desabatimos.

Por ejemplo para (S2): Por él perpendicular a r' y donde corte => S1' y levantando perpendicular a LT hasta cortar a r'' tenemos S2''.