Dados los puntos A(-2,0,0), B(-1,3,1), C(1, 1,1) y D(2,2,3), trazar por cada uno de ellos un plano de manera que los cuatro planos sean paralelos y equidistantes. Se dividirá la hoja de 32 x 44 cm. de forma apaisada en doce rectángulos de 9 x 11 cm. y en cada uno se dibujará una de las soluciones

Sabemos que dos rectas concurrentes en el espacio cortadas por un sistema de planos paralelos determinan segmentos proporcionales.

En el problema planteado los planos son paralelos y equidistantes lo que significa que , por un lado, los segmentos AB=BC=CD y por otro, AB'=B'C'=C'D' (AB no tiene por qué ser igual a AB').

Vamos a resolver un caso y luego nos planteamos resolver el resto.

Suponemos que los planos que numeramos del 1 al 4 tienen en el 1 el punto A, en el 2 el punto B, en el 3 el C y en el 4 el punto D.

Tomamos las rectas AD y AB. Entre A y D tenemos otros dos planos que determinan segmentos iguales en la recta AD luego procedemos a dividir AD en tres partes iguales y sabemos que el

punto K de la primera división está en el segundo pano y H en el tercer plano.

Vamos con AB: procedemos a duplicar AB y tenemos T donde AB=BT con T en el plano 3.

Ahora tenemos tres puntos HCT en el tercer plano que determinan dicho plano que llamamos  y por A, por B y por D trazamos unos planos paralelos al  con ayuda de rectas auxiliares que tomaremos horizontales.

Nos limitamos a dibujar las trazas V(_TC), V(_HC) y H(_HC) de las rectas TC y HC y tendremos el tercer plano 1-2. Por D' se traza una recta auxiliar horizontal con proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano y por D'' una paralela a LT y por la traza vertical de esta recta una paralela a 2 y por donde corte a LT una paralela a 1.

De modo análogo para el punto B. Para el punto A como está en LT trazamos por A paralelas al plano .

Para tener más soluciones sobre los planos 1-2-3-4 situamos de diferentes modos los puntos:

Posiciones:

ABCD; ACBD; ABDC; ADBC; ACDB; ADCB; BCAD; BCDA;BDAC;BDCA;CDAB; CDBA.

En total 12 soluciones.

Resolvemos el problema planteado

Si recordamos que son planos paralelos y equidistantes lo que significa que los vértices equidistantes sobre LT y sus trazas paralelas. También es de utilidad el recordar que A es un punto de LT y que por él pasa un plano luego en A tenemos el vértice del plano que contiene al punto.

El ejercicio que viene a continuación se determina el plano 2, el que contiene al punto D:

Se toma el punto M en la mitad de AB y se toma K que es el punto del primer tercio de AC.

Se hallan las trazas de MK => H_(MK)-V_(MK). Y la traza H_(KD).

Con ellas tenemos las trazas del plano que pasa por D.

Se trazan paralelas al plano anterior por A y tenemos el plano por A.

Para los planos 3 y 4 se trazan los vértices equidistantes y por los vértices paralelas a las trazas del plano solución