Dado un plano α, perpendicular al segundo bisector, formando sus trazas 45͒ con L.T. , y un punto A(20, 20) situado en él, y dado otro punto B(20,30) distando sus líneas de referencia 40 mm y estando B a la derecha de A. Hallar otro punto situado sobre el plano  y que diste de los dos dados una distancia -d- igual a la que dista el punto B con el segundo bisector

1. Hallar la distancia d de B al plano 2b: BQ=d

2. Suponiendo conocido el punto C, ABC es un triángulo isósceles: AC=BC=d luego C está en la mediatriz del lado AB. Sea M el punto medio de AB. Como estamos en el espacio todas las mediatrices de AB determinan un plano perpendicular a AB por M. Trazamos el plano 1-2 perpendicular a AB por M.

3. La intersección s de  con  es una recta cuyos puntos son equidistantes de AB por ser puntos del plano . Esto significa que C es un punto de s.

4. Si suponemos que s es el punto solución en el dibujo tenemos un triángulo rectángulo ATS con el ángulo recto en T.

5. Creamos aparte el triángulo rectángulo en verdadera magnitud. AT es la distancia mínima de A a la recta s. Para hallar T trazamos el plano  perpendicular a s por A. La intersección r de este plano con  corta a s en el punto T. Calculamos, en VM, AT=f

6. Construimos un triángulo rectángulo FGH en VM con FG=f como cateto, otra perpendicular a FG por G y con centro en F y arco de radio d obtenemos el punto H por lo que GH es la distancia en VM que debemos tomar sobre s y a partir de T en el dibujo que tenemos.

Situar el punto A y el punto B: El punto A pertenece a la recta m (20, 20) paralela a LT. En 3proy la recta m es un punto P es un punto. Trazamos un plano  paralelo a LT conteniendo a la recta m para ello ha de pasar por P. Hallamos la intersección de  con  => recta n. La recta n está en el plano  luego donde se corten m con n tendremos el punto A: A está en  y sus proyecciones son (20,20).

α

En tercera proyección situamos el punto B y el plano 2b y trazamos la recta p perpendicular que corta al plano en Q siendo BQ la distancia en VM del punto B al plano 2b.

Por M, punto medio de AB, trazamos el plano . Observamos que AB es una recta frontal, luego  es un plano proyectante vertical conteniendo a M => 2 es perpendicular a A''B'' por M'' y prolongamos hasta LT y donde corte una perpendicular a LT=> 1

Recta s intersección de los plano  con .

Por A trazar un plano perpendicular a la recta s: Como esto se me va del papel de dibujo lo que hacemos es elegir un punto K conveniente sobre s y trazar un plano  perpendicular a s. Hallar la intersección r1 de  con  y por A trazar una paralela r a r1.

Tenemos las rectas r y s en el mismo plano => se cortan en el punto T'-T''

Calculamos AT =f en VM. Construimos el triángulo FGH.

Para llevar la distancia FH sobre s a partir de T, tomamos un punto K cualquiera de s y hallamos en VM TK. Sobre la línea de la verdadera magnitud tomamos la distancia FH y por el extremos trazamos perpendicular a TK y tenemos S'. Situamos S''. Tenemos una segunda solución S1.

Ampliación:

Dado el plano a perpendicular al plano 2b y formando 45. con LT y el punto B(20, 30) a 40 mm sección del plano alfa con 2b y a su derecha, hallar la distancia de B la recta intersección de a con 2b.

El plano 2b tiene sus trazas en LT. En 3p (tercera proyección) se puede ver la traza de una recta r que forma 45 con los ejes y en diédrico como cota=alejamiento por el ángulo y como los puntos de este plano están en 2-4 diedro la proyección de los mismos está confundida A'=A''.

Construcción de un plano perpendicular a 2b:

Dos rectas concurrentes determinan un plano. Tomemos una recta cualquiera h sobre PH y una recta s perpendicular a 2b y que sean concurrentes.

En el punto B tenemos las trazas de la recta s y la traza vertical de la recta h. Tomamos un punto C cualquiera de s y otro D de h para formar una nueva recta t=CD contenida en el plano y de la que determinamos sus trazas para fijar las trazas del plano b

En diédrico ambas trazas están alineadas.

Recta m intersección de los dos planos,  con 2b:

La recta m es ua recta de 2b por tanto sus proyecciones están confundidas y sus trazas están en LT en el punto donde  la corta. Para hallar otro punto trazamos una recta en  y buscamos donde corte al plano 2b, que es precisamente donde sus proyecciones se cortan.

En el espacio lo vemos si trazamos un plano horizontal que corta a  en una recta g horizontal y al plano 2b en una recta paralela a LT y donde se corten tenemos el punto de g que es de 2b y tenemos la recta r.

Vamos al problema:

Hallar la distancia de un punto B (20, 30) dado a la recta intersección de un plano  perpendicular a 2b y dado. El punto B se sitúa a 40 mm a la derecha del vértice del plano a

Por B trazar una recta horizontal h de forma que h' por B' y perpendicular a r'. Se prolonga hasta cortar a LT y por ahí levantar perpendicular hasta cortar a la paralela a LT por B''. Donde se corten trazar perpendicular a r'' hasta cortar a LT y por el corte perpendicular a r' => el plano  es perpendicular a 2b.

Buscamos el punto P de intersección de la recta r con el plano . Para ello tenemos r contenida en  y trazamos la recta intersección i'-i'' de  con  que es una recta perpendicular a 2b y la tenemos en el punto donde se corten los dos planos, Hi-Vi, lo que tenemos son las trazas de la recta confundidas que podemos ver en 3p. El punto de intersección P es un punto del plano 2b por ser de r, luego lo podemos obtener en 3p en el punto donde sus proyecciones son iguales en longitud o trazan la intersección de ambas rectas r con i que están ambas en el mismo plano. Ahora sólo queda hallas la distancia PB.