Diédrico. Paralelismo. Perpendicularidad. Problemas Resueltos

 Dados la recta r y el plano  . Determinamos el punto K de corte de la recta con el plano: Con el plano auxiliar  proyectante horizontal por r de terminamos la recta i intersección de  con  y trazamos la intersección de las rectas r con i y tenemos K. Por K trazamos la recta p perpendicular al plano  . Trazar el plano p = Plano(p, r) Abatimos el plano  : Para ello abatimos K en K0 y tenemos las recta abatidas r0 = recta (K0-Hr) y p0 = recta (K0- Hp) Trazar m0 simétrica de r0 respecto de p0. Desabatimos m0: Prolongamos m0 hasta cortar a  1 y tenemos Hm. Unir Hm con K' y tenemos m'. Por Hm trazar perpendicular a LT y donde corte unir con K'' y tenemos m'' La solución es la recta m'-m''.

  ealicemos un dibujo en el espacio. Tenemos PH-PV y la recta r'-r''= recta(V'', H' ) dada por sus trazas y que consideraremos contenida en un plano de perfil. Suponemos el problema resuelto donde R es una solución. Según la distancia d podemos tener dos, una o ninguna solución. Desde M trazar una perpendicular al plano de perfil => T. Unimos TR Sabemos que una recta perpendicular a un plano lo es a toda recta contenida en el plano => MT es perpendicular a RT => MTR es un triángulo rectángulo. Lo dibujamos en PH. Conocemos d, MT=M'T' => podemos trazar RT, es decir, conocer la longitud del cateto RT del siguiente modo: Por M' trazar perpendicular a la proyección de la recta r'-r'' => T' Por T' perpendicular a M'T'. Con centro en M' trazar arco de radio d => N de modo que MTR  M'T'N (congruentes). Ahora nos fijamos en el plano de perfil y en lo que tenemos dibujado en el. Este dibujo...

Como los rayos incidente y reflejado están en un mismo plano, interpreto el problema dibujando los planos en el plano H y el punto O situado en el ángulo formado por los espejos. Utilizando lo que sabemos para que el rayo que parte de A y ha de pasar por B después de reflejarse en un espejo cumple que el rayo reflejado pasa por la imagen virtual de A. En el problema el rayo que parte de A va rebotando en los espejos y en cada rebote el rayo reflejado pasa por la imagen virtual. Veamos la marcha.  No nos preocupamos del otro punto por el que tiene que pasar finalmente. Sale de A y choca con el espejo 1 en K. El rayo reflejado pasa por K y la imagen A1 y llega a l punto M del espejo 2. Este rayo es incidente en el espejo2 luego su reflejado pasa por M y A2 que es la imagen de A1 respecto de espejo 2. Ahora el incidente es A2M que choca en espejo 1 en N y el reflejado pasa por N y la imagen A3 de A2 respecto de espejo 1. En este momento el rayo que ha partido de A ha chocado d...

 La recta AB=h es una recta horizontal. Por el punto medio M de AB se traza una perpendicular p al plano  del espejo. Sea P el punto de corte de p con  . El plano  =plano(A, B, P) es el que contiene a los rayos incidente y reflejado: AP, BP

 Trabajamos en (3p) = tercera proyección sobre un plano α de perfil. En él determinamos el punto R'-R'' de corte de la recta r y trasladamos las trazas Vs en 1'' y Hs en 2'. Trabajamos en (3p) y visualizamos el punto R y la recta s1 paralela a s. Por R trazamos una perpendicular m  a la recta s1 y pasamos su traza horizontal 3 a diédrico y tenemos Hm. La traza vertical en (3p) coincide con su posición en diédrico y tenemos Vm. El plano solución es el determinado por las rectas r y m concurrentes en R. Se trata de un plano cuya traza horizontal  β1 pasa por los puntos Hm y la traza horizontal de r que está en el infinito y tiene una dirección paralela a LT luego la traza horizontal β1 es una recta paralela a LT por Hm. De modo análogo tenemos β2 que es una recta paralela a LT por Vm.

  Se trata de dibujar una recta en el plano con proyecciones perpendiculares. Para abordar el problema comenzamos por dibujar una recta con proyecciones perpendiculares y observar sus características. Observamos que hay tres circunferencias de diámetros:  Hr-1 el alejamiento de la traza horizontal, Vr-2 la cota de la traza vertical y el tercer diámetro 1-2 son los puntos de LT de las trazas. Además observamos que las dos primeras son tangentes en el punto A y este punto pertenece al segundo bisector= 2b. Podemos trazar infinitos planos conteniendo a esta recta. Tomemos uno de ellos. Sabemos que todas las rectas del plano sus proyecciones se cortan en un punto de 2b y de ese punto parten las proyecciones y pasan por las trazas de la recta. Resolvemos el problema: Suponemos que el plano α1-α2 tiene una recta r con sus proyecciones perpendiculares. Tomemos un punto cualquiera de la traza vertical del plano Vs- Vs'. Por ese punto trazaremos la recta s paralela a r. La recta s cu...

De acuerdo con lo anterior (ver problemas anteriores) trazamos la recta r que equidista de tres puntos A, B, C. Tomamos el segmento formado por el cuarto punto D y uno cualquiera de los otros, por ejemplo, A. Trazar el plano α perpendicular a DA por su punto medio M. Hallar el punto P intersección de r con α es la solución.

 Teoría: Sabemos que los puntos del plano perpendicular a un segmento por su punto medio equidistan de los extremos del segmento. Resolución: Por el punto M medio del segmento trazamos el plano  perpendicular al mismo. Hallar el punto P intersección del plano con la recta r. Planteamos un problema concreto: Trazar el punto M punto medio de AB.  Contener M en una recta h horizontal del plano perpendicular a AB. Se traza con h' perpendicular a la proyección horizontal de AB y pasando por M'. La proyección h'' es paralela a LT por M''.  Trazar Vh, la traza vertical de la recta h, y por ella una perpendicular a la proyección A''B'' y tenemos   2. Donde  2 corta a LT trazamos una paralela a h' y tenemos  1. Hallar la trazas de la recta r: Vr, Hr Por r trazar un plano     procurando que las trazas corten al plano  . Hallar la recta i intersección de los planos    con  . La solución es el punto P intersección de las recta i con r.

 1º L.g. de los puntos equidistantes de dos puntos dados.  2º L.g. de los puntos equidistantes de tres puntos dados.  3º Se dan tres puntos A, B, C y un plano α, hallar el punto del plano que equidiste de los tres puntos dados. 1.-  Los dos puntos determinan un segmento. Por el punto medio del segmento trazamos el plano perpendicular. Todos los puntos de ese plano equidistan de los extremos del segmento.(Ver teoremas sobre perpendicularidad en el espacio: “Todos los puntos del plano perpendicular a un segmento por su punto medio equidistan de los extremos del segmento”) 2.-  Tres puntos no alineados en el espacio determinan un plano ψ. En  el circuncentro O del triángulo sería un punto que equidista de A, B, C y es único. Si trazamos los planos que pasan por los puntos medios M, N, L de los lados AB, BC, AC del triángulo y son perpendiculares al plano  su intersección es una recta r perpendicular al plano por el circuncentro. Veamos que la intersección de ...

Hallar sobre la L.T. el punto que esté igualmente alejado de las trazas de una recta dada. (93. Tema 4) Sabemos que: Un plano perpendicular a una recta tiene la propiedad de que todos sus puntos son equidistantes de los extremos de cualquier segmento sobre la recta simétrico respecto del punto de corte de la recta y el plano. Tomemos el segmento de r comprendido entre las trazas Vr-Hr. Sea M el punto medio del segmento. Por M tracemos el plano α perpendicular a r. Busquemos el punto de este plano que sea de L.T y para ello buscamos la intersección del plano con L.T. Que es el vértice V del plano. Para determinar M lo que hacemos es considerar el triángulo rectángulo HrVrK y la paralela media por el punto N en la mitad de HrK => M Trazamos una recta horizontal auxiliar por M y contenida en el plano que buscamos por lo que la proyección horizontal de esta recta es perpendicular a r' por M'. Por donde corte a LT levantamos perpendicular a LT hasta cortar a la proyección horizon...

Determinar sobre un plano α una recta cuyos puntos equidisten de las trazas de otro plano dado β En el espacio: Tenemos un plano   y tenemos sus trazas  1-  2.  Sea V el vértice de este plano. Trazamos sobre  la bisectriz b1-b2. Sea el plano  perpendicular a  por la bisectriz. Se demuestra que toda recta r1-r2 de este plano  que pase por V cumple que todos sus puntos equidistan de las trazas de  1-  2. Lo demostramos: tomemos un punto P cualquiera del plano j y trazamos una perpendicular PQ a b. Desde Q perpendiculares a b1-b2 y tenemos los putos M, N y los triángulos rectángulos PQM y PQN que son iguales ya que b es bisectriz => QM=QN y PQ es común. Esto significa que todos los puntos del plano  equidistan. Luego la solución está en la intersección del plano  con el plano  . Procederemos de la siguiente manera Trazar la bisectriz b. Abatimos   con  1 como charnela =>  0.  Trazar la bisectriz de  1 - 0 => b0 que es l...

  PERPENDICULARIDAD. TEORÍA Puntos del espacio equidistantes de los extremos de un segmento Dado un segmento de extremos AA', consideremos la recta r que lo contiene. Consideremos el haz H de planos de arista r. En cada plano  β ∊  H  tracemos la mediatriz m del segmento AA' que será una recta perpendicular a r por el punto M, punto medio del segmento AA'. Todas la mediatrices son secantes en el punto M y todas son perpendiculares por M a la recta r. Cada mediatriz y en cada plano de H es única. Todos los puntos de una mediatriz equidistan de los extremos del segmento. Sean p, q dos de las mediatrices: por ser secantes y distintas originan un plano α. Probemos que: Todos los puntos de α  equidistan de AA' Sea N un punto cualquiera del plano. Tracemos por él una recta secante a p, q. Sean P,Q los puntos de corte. Los triángulos PQA y PQA' que son congruentes Es decir, existe un movimiento que nos permite llevar uno sobre otro. Por ser movimiento se...

  Desde un punto P cualquiera trazar una perpendicular a una recta r de perfil.   Una recta n'-n'' paralela a LT por el punto P es una recta perpendicular al plano de perfil que contiene a la recta r de perfil y por ello r y n son perpendiculares. Por otro lado trazamos en 3d la recta s perpendicular a r por un punto cualquiera de r. Por P trazamos una paralela m a s y determinamos sus trazas Vm y Hm. Estas rectas n, m determinan un plano a que, uniendo trazas, resulta un plano paralelo a LT por las trazas de m. El plano es perpendicular a r y por ser recta y plano perpendiculares, todas las rectas del plano son perpendiculares a r. Una cualquiera de ellas sería solución. Tomaremos una en particular. Lo que haremos es buscar el punto Q de corte del plano a con r y elegiremos la recta PQ como solución. Para ello trazamos la recta i intersección del plano a con el plano de perfil de r y determinamos Q intersección de i con r. Problema planteado en el libro de Rodrígue...