Diédrico. Paralelismo. Perpendicularidad. Problemas Resueltos

Hallar la distancia d de B al plano 2b: BQ=d Suponiendo conocido el punto C, ABC es un triángulo isósceles: AC=BC=d luego C está en la mediatriz del lado AB. Sea M el punto medio de AB. Como estamos en el espacio todas las mediatrices de AB determinan un plano perpendicular a AB por M. Trazamos el plano  1-  2 perpendicular a AB por M. La intersección s de  con  es una recta cuyos puntos son equidistantes de AB por ser puntos del plano  . Esto significa que C es un punto de s. Si suponemos que s es el punto solución en el dibujo tenemos un triángulo rectángulo ATS con el ángulo recto en T. Creamos aparte el triángulo rectángulo en verdadera magnitud. AT es la distancia mínima de A a la recta s. Para hallar T trazamos el plano  perpendicular a s por A. La intersección r de este plano con  corta a s en el punto T. Calculamos, en VM, AT=f Construimos un triángulo rectángulo FGH en VM con FG=f como cateto, otra perpendicular a...

Por el punto P trazar un plano  perpendicular a la recta r. Hallar el punto Q de intersección de  con la recta r. PQ es la distancia pedida. Ver el siguiente dibujo: En tercera proyección: Trazar la recta r y el punto P=> r1, P1 Por P1 una recta m perpendicular a r1. La recta m corta a PH en Hm y al PV en Vm. Trazar por m un plano  perpendicular a r. Este plano contiene a m, por construcción => sus trazas han de pasar por las trazas de la recta m. Como r es de perfil el plano perpendicular tiene sus trazas paralelas a LT => el plano tiene sus trazas paralelas a LT por Vm y Hm. El plano  tiene a la recta m como su traza en la tercera proyección y la intersección de esta recta m con r1 es el punto Q1 donde la recta r corta al plano. No nos hace falta construir el plano para la obtención del punto Q1, pero lo he explicado para que se vea el fundamento. Pasamos Q1 a diédrico y hallamos la distancia PQ.

Sea  el plano(A, B, C). Por D' pasamos una paralela a  1 hasta cortar LT por donde levantamos perpendicular hasta  2 y por ese punto una paralela a LT hasta cortar a la perpendicular a LT por D' => D''. Ahora trazar la distancia entre dos puntos: DC.

En el caso 3 la recta es paralela a LT y directamente su proyección vertical (horizontal) nos da la longitud en VM. El cuarto caso si son los diedros 1-2 (ó 3-4) ( y sólo en ellos) es una recta contenida en un plano paralelo al PH y su proyección horizontal nos da su longitud en VM; si está en 2-3 (ó 1-4) y sólo en ellos tenemos el segmento contenido en un plano frontal y su proyección vertical da la longitud en VM.

    Situar los puntos y resolver la distancia entre dos puntos.

  Trazar un plano β paralelo al  a una distancia d. Para ello Tomamos un punto Q del plano  y por él trazamos una recta p'-p'' perpendicular al plano  . Tomamos otro punto T'-T'' de p y hallamos la distancia QT en VM. Sobre esta distancia y a partir de Q' tomamos una longitud =d y por el extremo trazamos una perpendicular a Q'T' y tenemos R'. Trazar por R' una perpendicular a LT hasta cortar a p'' => R''. Pasamos por R una recta horizontal que esté en β  para ello por R' una paralela a  1 y donde corte  a LT levantamos perpendicular a LT hasta cortar a la paralela a LT por R'' donde está la traza de la recta horizontal que estamos trazando. Por ella una paralela a α2 hasta cortar LT=> β 2, y por ahí una paralela a  α 1 =>  β1 Por P hacemos pasar una recta horizontal contenida en  β  : por P' una paralela a  β  1 y donde corte a LT una perpendicular a LT hasta cortar a  β 2 por donde se traza...

Dado el plano  trazar un plano paralelo  a una distancia l= longitud dada. La intersección de la recta r dada con  es solución. Se puede trazar el plano paralelo a ambos lados del plano  por lo que hay dos soluciones. En el caso de que la recta y el plano sean paralelos si la recta está a la distancia l la solución es todos los puntos de la recta. De lo contrario no hay solución. PROCEDIMIENTO Se traza una recta p perpendicular al plano  y se halla el punto A de corte de la recta con el plano. Se toma un punto B sobre p y se calcula la longitud AB. Tenemos formado un triángulo rectángulo de catetos A'B' y la diferencia entre A''B''. Sobre la hipotenusa tomamos a partir de A' la longitud l. Por el extremos una perpendicular a A'B' y donde corte tenemos C' sobre p' y levantando la perpendicular a LT hasta cortar a p'' en donde tenemos C''. Sobre p trazamos el punto D simétrico de C respecto de A. Por C tra...

Dados A'-A'', B'-B'' y C'-C'' la perpendicular al plano ABC por el circuncentro del triángulo que forman es el l.g de los puntos equidistantes de los puntos dados. La intersección de esta recta con el plano horizontal es el punto buscado. PROCEDIMIENTO: Plano  perpendicular a AB por M su punto medio. Plano  perpendicular a AC por N su punto medio. Recta r intersección de los planos  con  . La traza Hr horizontal de la recta r es la solución.

Dado el plano alfa tomamos un punto P sobre él. Imaginemos el problema resuelto y nos fijamos en el PH. Tenemos LT, tenemos α 1 y tenemos P' por el que pasa la proyección horizontal de una recta r' en la que P' ocupa su posición media. Nos fijamos en r' con LT y con  α 1 se forma un triángulo donde si por P' trazamos una paralela a LT, P'A, tenemos la paralela media del triángulo =>VA es la mitad del lado del triángulo por lo que si duplicamos tendremos el vértice B, del triángulo del que P'A es su paralela media: B, traza horizontal de la recta r Unimos BP y prolongamos hasta cortar LT. Por este punto levantamos una perpendicular hasta cortar  2 donde tenemos la traza vertical de r.

El plano bisector del diedro es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los dos planos. Se obtiene trazando el plano perpendicular a la recta intersección de los dos planos del diedro por un punto cualquiera. Este plano determina dos trazas una con cada plano del diedro y concurrentes. Se determina la recta bisectriz de las dos trazas y el plano bisector es el plano determinado por esta bisectriz y la recta intersección del diedro. En nuestro caso el diedro lo forman el plano  1-  2 con el Plano Vertical (PV) y la recta r intersección del diedro es la traza  2= r'' mientras r'=LT. Elegimos un punto b de r y trazamos el plano  perpendicular a r.(Hay un punto muy cómodo A'-A'', pero para ver como es el desarrollo del problema elegimos otro B) Veamos ahora las proyecciones de las rectas m, n de intersección con los planos del diedro : m''=  2 – m'=LT; la recta n es una recta de punta donde n''=B'' – n...

  Tomar un punto P sobre LT=> P'=P'' Por P' trazar una perpendicular a  1 => r' proyección horizontal de la recta perpendicular al plano por el punto P. Por P'' trazar perpendicular a  2 => r''. Trazar el punto Q donde r corta al plano. Ayudarse de un plano proyectante horizontal por r.

 Tres puntos determinan un plano c =Plano(A,B,C). En este plano tenemos ABC que forman un triángulo. El circuncentro P equidista de los vértices. Trazar por P una recta r perpendicular al plano y esta recta es el l.g. De los puntos que equidistan de los vértices: tomando un punto Q de r y lo unimos con A se forma un triángulo APQ rectángulo. Hacemos lo mismo uniendo Q con B y tenemos el triángulo rectángulo BPQ y ambos triángulos son congruentes ya que son rectángulos con los catetos iguales PQ es común y Ap=BP por ser P circuncentro => QA=QB y análogamente QA=QB=QC.. Nos queda localizar sobre r el punto Q tal que QA = d. PROCEDIMIENTO Traza un plano  = Plano perpendicular a AB por su punto medio: Nos ayudamos de una recta auxiliar horizontal por el punto medio de AB de modo que su proyección horizontal sea perpendicular a A'B' y prolongando hasta cortar LT levantar una perpendicular hasta cortar a la proyección vertical que es una recta paralela a LT y donde perpendicula...

 Un punto P'-P'' y una recta r'-r'' que no pasa por el punto definen un único plano  que se obtienen con las trazas de la recta Vr y Hr y con las trazas de otra recta s que se obtienen con un punto Q de r y P, s=QP. Trazar una perpendicular m al plano  : Por P' una perpendicular m' a  1. Por P'' una perpendicular a  2. Hallar Hm la traza horizontal de m. Calcular la distancia entre dos puntos Hm-0 con P'-P'' Resolvemos dados r y P

Sabemos que dos rectas concurrentes en el espacio cortadas por un sistema de planos paralelos determinan segmentos proporcionales. En el problema planteado los planos son paralelos y equidistantes lo que significa que , por un lado, los segmentos AB=BC=CD y por otro, AB'=B'C'=C'D' (AB no tiene por qué ser igual a AB'). Vamos a resolver un caso y luego nos planteamos resolver el resto. Suponemos que los planos que numeramos del 1 al 4 tienen en el 1 el punto A, en el 2 el punto B, en el 3 el C y en el 4 el punto D. Tomamos las rectas AD y AB. Entre A y D tenemos otros dos planos que determinan segmentos iguales en la recta AD luego procedemos a dividir AD en tres partes iguales y sabemos que el punto K de la primera división está en el segundo pano y H en el tercer plano. Vamos con AB: procedemos a duplicar AB y tenemos T donde AB=BT con T en el plano 3. Ahora tenemos tres puntos HCT en el tercer plano que determinan dicho plano que llamamos  y por A, p...

Suponemos que las proyecciones verticales son paralelas y no son ni paralelas ni perpendiculares a LT, lo que sería un caso trivial, => hay dos planos ,  proyectantes verticales conteniendo a las rectas que son paralelos, luego la mínima distancia es la distancia entre estos dos planos. Para ello trazamos una recta p'-p'' perpendicular a ambos planos y hallamos los puntos M, N de intersección M de p con  y N de p con  . La solución es la distancia MN. El otro caso es similar con planos proyectantes horizontal por las rectas. Resolvemos un problema Datos r'-r'' y s'-s'' donde r'' y s'' se trazan paralelas.

En un triángulo podemos elegir un lado y unir el punto medio M de ese lado con el vértice opuesto y trazar por los otros vértices paralelas. El resultado son tres paralelas equidistantes. De acuerdo con el enunciado tomamos el punto medio M del lado 2-3 y resolvemos.

1 º Datos el punto A y la recta r Por A un plano perpendicular a la recta horizontal r. Para ello nos ayudamos de una recta horizontal h'-h'' por A y que pertenezca al plano α que buscamos. Por A' una perpendicular a r' => h'. Por A'' una paralela a LT => h''. Determinamos la traza vertical de h=> Vh Por Vh una perpendicular a r'' => α 2 Donde corte α 2 a LT una paralela a h' => α 1. El plano es un plano proyectante horizontal. Punto K de corte de r con el plano α : Nos ayudamos de un plano β proyectante por r. Recta i intersección de α y β ( es una recta vertical) siendo K la intersección de i con r. Distancia KA. Hecho el problema vemos que la construcción se simplifica mucho si por A' perpendicular a r' y donde se corten K'. Por A' perpendicular a h' y tomamos una distancia igual a la que hay entre A'' y r''. Desde este punto hasta K' es la distancia AK. 2 º D...

Se resuelve en tercera proyección. Veamos un problema: Dado el punto A y el plano  . Pasar el punto A'-A'' a tercera proyección => A Pasar el plano α1- α 2  a tercera proyección =>  α   Por A una perpendicular al plano  α  . Sea B el punto de corte. La distancia pedida  aparece en VM en la tercera proyección.