PERPENDICULARIDAD. TEORÍA. DISTANCIAS

 

PERPENDICULARIDAD. TEORÍA

Puntos del espacio equidistantes de los extremos de un segmento

Dado un segmento de extremos AA', consideremos la recta r que lo contiene.

Consideremos el haz H de planos de arista r.

En cada plano β∊ H tracemos la mediatriz m del segmento AA' que será una recta perpendicular a r por el punto M, punto medio del segmento AA'.

Todas la mediatrices son secantes en el punto M y todas son perpendiculares por M a la recta r.

Cada mediatriz y en cada plano de H es única.

Todos los puntos de una mediatriz equidistan de los extremos del segmento.

Sean p, q dos de las mediatrices: por ser secantes y distintas originan un plano α.

Probemos que:

Todos los puntos de α  equidistan de AA'

Sea N un punto cualquiera del plano. Tracemos por él una recta secante a p, q.

Sean P,Q los puntos de corte.

Los triángulos PQA y PQA' que son congruentes

Es decir, existe un movimiento que nos permite llevar uno sobre otro. Por ser movimiento se conservan las distancias los ángulos y el sentido. Lo demostramos, P p  PA = PA' recordemos que p es una mediatriz en uno de los planos de H. Por lo mismo Q q  QA = QA' el lado PQ es común, luego tenemos dos triángulos con los tres lados iguales  son congruentes.

Ahora en el movimiento que nos lleva un triángulo sobre el otro el lado PQ permanece fijo luego por el axioma de rigidez: en un movimiento ningún segmento se puede transformar en una parte  NA = NA'

Acabamos de probar que los puntos del plano equidistan de los extremos del segmento AA'. Probemos que:

Son los únicos puntos del espacio con esta propiedad.

Sea K un punto del espacio / por el absurdo suponemos que K   KA=KA'

K no puede ser de r pues el único punto que equidista es M y está en el plano.

Consideremos el plano definido por una recta y un punto:  = plano(r, K)

Sea s = recta (  ) donde K s

Sabemos que en un plano los únicos puntos que equidistan de los extremos de un segmento son los de una recta que es la mediatriz del segmento y es única.

Aquí tenemos la recta s que por estar en el plano  todos sus puntos equidistan y además la recta s es del plano  y en este plano tenemos un punto K que no es de la recta y también equidista de los extremos lo que no puede ser por ser los puntos de s exclusivos para la equidistancia  K está en el plano a.

Conclusión:

Los puntos del espacio que equidistan de los extremos de un segmento dado determinan un plano, que llamaremos plano de simetría.

Veamos que es único.

Si sobre la recta r tomamos otro segmento BB' simétrico respecto de M, observamos que en cada plano del haz la mediatriz del segmento AA' es la misma que la del segmento BB' lo que nos conduce a la construcción del mismo plano. Lo contrario nos llevaría a un plano del Haz con dos rectas distintas de puntos equidistantes una para AA' y otra para BB', ambas pasando por M y ambas perpendiculares en ese plano por el punto M a la recta r lo que va en contra de la geometría del plano: En el plano sólo se puede trazar por un punto una perpendicular a una recta.

Hemos visto que el plano de simetría es único y que sólo depende del punto M elegido sobre una recta r dada. También hemos visto que estos puntos pertenecen a rectas que son perpendiculares a r por el punto M, luego

El plano determinado por todas las rectas perpendiculares a una recta r dada por un punto M de la misma es único y es plano de simetría de la recta, es decir, sus puntos equidistan de cualquier segmento que tomemos simétrico respecto del punto de corte de la recta con el plano.

Plano perpendicular a una recta

Dada una recta r y un punto M  r el plano de simetría de r es el plano buscado.

Procedimiento:

Tomemos un punto P cualquiera del espacio / P r.

Construir el plano  = Plano(P, r).

En este plano trazar una perpendicular p a r por M.

Tomar otro punto Q del espacio / Q  a.

Construir el plano b = Plano(Q, r).

En este plano trazar una perpendicular q a r por M.

SOLUCIÓN : El plano determinado por las rectas p, q es el plano perpendicular a r por M.

En el caso de que nos pidieran el plano perpendicular a una recta r por un punto K  r se procede de la siguiente manera:

Construir el plano  = Plano(K, r).

En este plano trazar una perpendicular t a r que la cortará en u punto M y ahora se trata de encontrar otra perpendicular a r por M como hemos visto antes.

El plano construido es ÚNICO.

Concepto de rectas perpendiculares cuando se cruzan

Si un plano a es perpendicular a una recta r y s es una recta del plano que se cruza con r siempre es posible trazar un plano b perpendicular a s pasando por r. Veamos cómo:

Tenemos plano a perpendicular a r siendo R   r

Tenemos s   y las rectas r, s se cruzan en el espacio.

En estas condiciones sea R el punto de corte de la recta r con el plano a. Por R podemos trazar una perpendicular a s ya que R y s están en un mismo plano. Sea M el punto de corte con s.

Sobre s tomemos un segmento AA' simétrico respecto de M  MA=MA'.

RM es una mediatriz del segmento AA'  RA = RA'

Consideremos los triángulos TRA y TRA'

1. Son rectángulos por ser el plano a y la recta r perpendiculares.

2. Tienen un cateto TR en común.

3. El otro cateto lo tienen igual por construcción.

Luego los triángulos son congruentes  TA = TA'

Un plano queda definido por tres puntos  b= plano(T, R, M).

Consideremos la recta RM y el plano (RM, s): en este plano la recta es mediatriz por construcción y por ello es perpendicular a s por M.

Consideremos la recta TM y el plano(TM, s) en este plano la reta TM tiene dos puntos que equidistan de AA' y sabemos que en un plano los únicos puntos que equidistan de los extremos de un segmento son los de la recta mediatriz del segmento que es única  TM es perpendicular a s por M.

Luego tenemos dos rectas, TM, RM, concurrentes en M y perpendiculares por ese punto a s que originan el plano que estamos buscando.

Sabemos que el plano perpendicular a una recta es único luego el plano encontrado no depende del punto T elegido sobre r. Esto significa que: el plano perpendicular a s viene dado por la recta r y el punto M.

Además acabamos de demostrar que TM es perpendicular a s lo que es muy importante para el teorema de las tres perpendiculares del que trataré más adelante.

CONCLUSIÓN:

Dos rectas que se cruzan en el espacio son perpendiculares si por una de ellas podemos trazar un plano perpendicular a la otra.

Recta perpendicular a un plano

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a toda recta del mismo.

En efecto porque si la recta r es perpendicular al plano todas las rectas del plano que pasan por el punto de corte de la recta r y el plano son mediatrices y por tanto perpendiculares a ella y el resto de rectas del plano son rectas que se cruzan con r y están contenidas en el plano perpendicular a r, luego son perpendiculares según acabamos de ver en el concepto de rectas perpendiculares que se cruzan.

Si una recta es perpendicular a dos rectas p, q secantes que se cruzan con ella , es perpendicular al plano que definen.

Para verlo supongamos que M es el punto donde se cortan las rectas.

Tomemos la recta p y por M le trazamos un plano perpendicular que es único, es decir, el plano por M a r es ÚNICO, luego el plano perpendicular a la recta q por M es el mismo luego es el plano definido por p, q el plano perpendicular a r.

Por un punto P exterior al plano a se puede trazar una única recta perpendicular al plano.

Tomemos dos rectas s, t concurrentes del plano.

Para la recta s y el punto P exterior a ella podemos trazar un plano b1 perpendicular a ella.

Por t y el punto P trazamos otro plano b2 perpendicular a t.

La intersección de estos planos nos da una recta k:

k b1 que es perpendicular a s

k b2 que es perpendicular a t

y por lo que acabamos de ver k es perpendicular a dos rectas secantes que se cruzan con ella, luego k es perpendicular al plano y es única.

Teorema de las tres perpendiculares

Si dos rectas p, q son perpendiculares en el espacio y una de ellas es paralela a un plano las proyecciones ortogonales de las rectas sobre el plano son perpendiculares.

Suponemos s contenida en el plano PH de proyección.

Suponemos que r y s son perpendiculares en el espacio  por s podemos pasar un plano  perpendicular a r.

Sea R  r  a . Procediendo como antes tracemos sobre a la perpendicular RM a la recta s y sabemos que el plano b= plano(r, M) es perpendicular a la recta s.

Sea b1 la traza de b sobre PH:

como b1 es una recta de b y b es un plano perpendicular a s y b1 pasa por M  b1 es perpendicular a la recta s por M.

Veamos que este plano b es proyectante sobre PH.

Proyectamos ortogonalmente R sobre PH  RK siendo K el punto de corte con PH.

RK es perpendicular a s por estar en el plano PH  Por RK se puede trazar un plano único que es perpendicular a s (concepto de rectas perpendiculares que se cruzan) pero por R ya teníamos un plano b que era perpendicular a s  K debe estar en la traza b1 .

Conclusión:

Si la recta s y la recta r son perpendiculares en el espacio y la recta s está contenida en el plano de proyección, la proyección ortogonal de la recta r sobre PH, que es b1 es perpendicular a s.

Si ahora desplazamos el plano PH paralelamente a sí mismo y tomamos el nuevo plano de proyección el plano desplazado, sabemos que las proyecciones ortogonales de rectas sobre planos paralelos son paralelos, luego se conserva la perpendicularidad.

Otra forma de ver el teorema

Si r es una recta perpendicular a un plano a, la proyección ortogonal r' sobre un plano, por ejemplo PH es perpendicular a la traza a1 del plano a sobre PH.

Tenemos r    r  1 por serlo a toda recta de a

luego tenemos dos rectas perpendiculares en el espacio y a1 paralela a PH, en este caso contenida en PH, por r se puede trazar un plano, d, perpendicular a a1 .

La traza de d sobre PH es es perpendicular a a1 ya que a1 es perpendicular a toda recta de d. Pero d es un plano proyectante sobre PH lo que significa que la proyección r' de r coincide con la traza del plano, luego r'  1 .

Como r    r  MN y como MN  d  a1  d  MN  1.

Acabamos de ver que la proyección horizontal de una recta perpendicular a un plano es perpendicular a la traza horizontal del plano. Lo mismo tendríamos si hubiéramos proyectado ortogonalmente sobre el PV.

Conclusión:

Si una recta es perpendicular a un plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

Recta perpendicular a un plano definido por dos rectas cualquiera.

Dadas las rectas r, s concurrentes vamos a usar rectas horizontales y frontales para determinar las direcciones de las trazas del plano y luego trazar perpendiculares a dichas trazas pero usando un punto P de la recta.

Plano a perpendicular a una recta r

Elegimos un punto M  r que va a ser el punto de corte de la recta con el plano.

Por M trazamos una recta h horizontal del plano de la que sabemos que h' a1 y como r es perpendicular al plano r'  a1  h'  r'

Luego por M' trazamos una perpendicular a r' y por M'' una paralela a LT y tenemos (h', h'').

Determinamos la traza T de la recta h y por T una perpendicular a r''. Donde esta recta corte a LT trazamos una perpendicular a r'.

Rectas perpendiculares entre sí

Dos rectas perpendiculares en el espacio se proyectan sobre un plano, generalmente como dos rectas oblicuas. El teorema de las tres perpendiculares nos dice que si dos rectas son perpendiculares en el espacio y una de ellas es paralela al plano de proyección las proyecciones ortogonales de las rectas son perpendiculares.

Luego la inspección de las proyecciones de dos rectas que se cortan no se puede saber si son o no perpendiculares en el espacio.

El problema que se plantea es dada una recta r y un punto P, trazar una recta s por P y perpendicular a r.

Procedemos:

1. Por el punto P un plano a perpendicular a r

2. Sea R  a  r

3. Solución s= recta(RP)

Planos perpendiculares entre sí

Un plano a es perpendicular aun plano b si a contiene una recta r que es perpendicular a b.

¿Cómo trazar un plano perpendicular a otro dado? Lo que haremos será elegir una recta del plano y por un punto de esa recta trazarle un plano perpendicular. Ambos planos son perpendiculares y podemos tener infinitas soluciones.

Problema: En Diédrico: Dado un plano  y un punto P trazar un plano por P perpendicular a plano .

Tomar una recta r por P que sea perpendicular al plano .

Esta recta tiene por trazas los puntos V, H

Elegimos un punto cualquiera de LT y lo unimos con V y con H y tenemos un plano al que pertenece la recta r que es perpendicular al plano dado, luego es plano construido es perpendicular.

Trazar por un punto P un plano perpendicular a otros dos dados

Los planos dados tienen una recta intersección r.

Por un punto del espacio trazar un plano perpendicular a r.

Otra solución sería por un punto P del espacio trazar dos rectas cada una de ellas perpendicular a uno de los planos. El plano generado por esas dos rectas concurrentes es la solución. 

Por una recta r pasar un plano β perpendicular a uno α dado.

Por r se puede trazar un haz de planos. De todos sólo uno es perpendicular al plano dado.

Por un punto P  r trazamos una recta p perpendicular al plano .

Trazar el plano determinado por las rectas r, p.

Perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Esto nos servirá para calcular la distancia entre un punto y un plano o entre dos rectas que se cruzan o son paralelas.

La perpendicular a dos rectas que se cruzan es única.

Sean la rectas r y s.

Por un punto P cualquiera de r trazamos una paralela s1 a la recta s.

Sea a= plano (r, s1).

Elegimos un punto Q cualquiera de s y desde el trazamos una perpendicular al plano , y calculamos la intersección T de la perpendicular con el plano.

Por T trazamos una paralela s2 a s.

Esta recta s2 está en el plano pues pasa por T y es paralela a s1  s2 corta a r en un punto R.

La recta perpendicular al plano por R es la recta pedida, o también la recta paralela a QT por R.

También tenemos en el paso anterior que QT= distancia entre las dos rectas.

Distancia entre dos puntos A-B

Tenemos una proyección ortogonal A'B' sobre PH de la distancia AB que buscamos.

Si trasladamos A'B' siguiendo el vector AA' tenemos AC.

Hemos formado un triángulo rectángulo del que, en diédrico, conocemos dos catetos: A'B' es el segmento que une las proyecciones horizontales de los puntos y el cateto BC que es la diferencia de las cotas.

También podríamos usar A''B'' como cateto en cuyo caso el otro cateto lo forman la diferencia de los alejamientos.

También hay que tener en cuenta si los puntos se encuentran uno en diedro distinto al otro en cuyo caso las cotas que tiene signos opuestos se suman tomando los valores absolutos.

Hallar la distancia entre un punto A del primer diedro y un punto B del tercer diedro:

Distancia de un punto a un plano

Dado P y el plano . Se traza la perpendicular r al plano por P. Se halla el punto R de intersección de r con el plano. La distancia= PR.

Ejercicio:

Hallar la distancia y en verdadera magnitud del punto P al plano a perpendicular al plano del 2 bisector.

Por P'' perpendicular a a2 y por P' a a1. Tenemos r''-r' que es la recta perpendicular al plano por P.

Buscamos el punto Q de corte de r con el plano: Trazamos el plano b proyectante horizontal por r.

Ambos planos nos dan la recta intersección i'-i''

Sea Q el punto de corte de las dos rectas i con r.

Sobre r'' y a partir de Q" tomamos una perpendicular de longitud h que es la diferencia entre los alejamientos del segmento PQ. La hipotenusa D nos da la VM de la distancia PQ.