1º L. g. de los puntos equidistantes de dos puntos dados. 2º L.g. de los puntos equidistantes de tres puntos dados. 3º Se dan tres puntos A, B, C y un plano α, hallar el punto del plano que equidiste de los tres puntos dados.

 1º L.g. de los puntos equidistantes de dos puntos dados. 

2º L.g. de los puntos equidistantes de tres puntos dados. 

3º Se dan tres puntos A, B, C y un plano α, hallar el punto del plano que equidiste de los tres puntos dados.

1.-  Los dos puntos determinan un segmento.

Por el punto medio del segmento trazamos el plano perpendicular.

Todos los puntos de ese plano equidistan de los extremos del segmento.(Ver teoremas sobre perpendicularidad en el espacio: “Todos los puntos del plano perpendicular a un segmento por su punto medio equidistan de los extremos del segmento”)

2.-  Tres puntos no alineados en el espacio determinan un plano ψ.

En  el circuncentro O del triángulo sería un punto que equidista de A, B, C y es único.

Si trazamos los planos que pasan por los puntos medios M, N, L de los lados AB, BC, AC del triángulo y son perpendiculares al plano  su intersección es una recta r perpendicular al plano por el circuncentro.

Veamos que la intersección de los tres planos es una recta:

Cada dos planos su intersección es una recta que es perpendicular a  por construcción y cumple que cada punto P de esta recta equidista de los tres puntos dados: 

Tenemos, por ejemplo, Plano (M, O, P) donde P por ser del plano perpendicular a AB por M equidista de A y de B y por ser P del Plano (N,O,P) del mismo modo que antes , P equidista de B y de C => P equidista de los tres y esta recta pasa por O ya que es el circuncentro del triángulo ABC.
Si hacemos el mismo razonamiento con otros dos plano por ejemplo Plano(M, O, P) y Plano(L,O,P) llegaríamos a que la intersección de estos planos es una recta perpendicular al plano  pasando por O . Como la perpendicular a un plano por un punto es única => las rectas obtenidas por la intersección de los tres planos es una única recta.

3.- Nos planteamos un problema concreto y lo vamos resolviendo.

Procedimiento:

• Se traza el plano  = Plano (A, B, C) definido por los tres puntos.
• Trazar el plano  perpendicular al segmento AB por su punto medio M.
• Lo mismo para el segmento BC por su punto medio N y tenemos el plano .
• Con estos dos planos tenemos la recta r con la característica de que todos sus puntos equidistan de A,B,C.
• Hallar el punto P intersección de r con el plano  dado.

Realización:

• Para trazar el Plano  = Plano (A, B, C):

Se hallan las trazas de las rectas AB => V, H

Se halla la traza vertical de la recta BC => V1
Unimos V-V1 = 2 y por donde corte a LT unimos con H y tenemos 1.

• Para trazar :

El punto medio de la proyección horizontal de AB nos da M'. En la perpendicular a LT por M' y sobre la proyección vertical de AB tenemos M''.

Como M ha de estar en el plano nos ayudamos de una recta h horizontal que pase por M. De h sabemos que h', su proyección horizontal es paralela a 1 y sabemos que 1 es perpendicular a la recta AB luego h' es perpendicular a (AB)' = proyección horizontal de AB.
Por M” se traza una paralela a LT y tenemos h''. Hallamos la traza vertical de h y por ella trazamos una perpendicular a (AB)'' y nos da 2. Donde corte a LT trazamos una paralela a h' y tenemos 1.

• Para trazar :

Repetimos el proceso para el segmento BC con la recta horizontal auxiliar h1.

• Trazar la recta r'-r'' intersección del plano  con :

Esta recta es la que cumple que sus puntos equidistan de A, B, C.
Para trazar esta recta tomamos los puntos de intersección de las trazas de los planos. 

• Hallar el punto P de intersección de la recta r con el plano a dado:

Para ello nos ayudamos del plano auxiliar  proyectante horizontal por r que nos da una recta i intersección de  con a. Trazar el punto P'' donde r'' corta con i'' y bajar la perpendicular por P'' hasta cortar a r' donde tenemos P'.