Un trabajo de matemáticas en LATeX

 Un alumno  de segundo de Bachillerato me pidió ayuda con la realización de un proyecto en LATeX para presentar la resolución de dos problemas de matrices utilizando este lenguaje.

El resultado fue el siguiente, tened en cuenta que nunca, ni aluno ni yo, habíamos usado este lenguaje.

1. \documentclass[11pt,letterpaper,titlepage]{article}
2. % titlepage hace que el título aparezca en una sóla página
3. % paquetes para manejar el castellano
4. % ATENCIÓN A LOS ACENTOS QUE DAN ERROR se escribe \'{a} y da á
5. \usepackage[spanish]{babel}
6. \usepackage[latin1]{inputenc}
7. \usepackage[T1]{fontenc}
8. % definición de la página
9. \usepackage[right=2cm,left=3cm,top=2cm,bottom=2cm,headsep=0cm,footskip=0.5cm]{geometry}
10. % paquete de Matemáticas
11. \usepackage{mathtools}
12. % título, autor y fecha que no se imprimirá hasta que en el cuerpo del documento aparezca \maketitle
13. \title { \textbf{\Huge {Ejercicios de matrices IES Delicias}}} % Las llaves anidadas son para que lo ponga en negrita y luego en letra muy grande
14. \author{\Large Belid} % cambio tamaño de letra
15. \date{15/10/2020}
16. \begin{document}
17. \maketitle
18. \section{Problema A}
19. \subsection {Enunciado}
20. Dadas las matrices A, B y C, con inversa, de orden n y la matriz identidad I
21. \begin{enumerate}
22. \item[a)]Resuelve la siguiente ecuaci{\'o}n matricial ( despeja X):$C * ( A + X ) *B = I$.\\
23. % Si escribimos la ecuación entre $$ ... $$ la ecuación sale centrada y en una línea aparte si usamos $ ... $ se alinea a la izquierda y a con el texto seguido
24. \item[b)]Aplica el resultado anterior (calcula X) para las matrices
25. \end{enumerate}
26. \begin{center}
27. \begin{equation*}
28. % El * al final sirve para que no salga numerada
29. A= \begin{pmatrix} {3} & {4}\\{1} & {2}\\\end{pmatrix},B= \begin{pmatrix}{1} & {1}\\{0} & {1}\\\end{pmatrix},C= \begin{pmatrix}{1} & {0}\\{0} & {1}\\\end{pmatrix}
30. \end{equation*}
31. \end{center}
32. 
    
33. \subsection{Soluci\'{o}n}
34. \begin{enumerate}
35. \item[a)]Desarrolamos la ecuaci{\'o}n de acuerdo con las reglas del{ \'A}lgebra matricial\\
36. \begin{align*} % Podemos dividir en varias líneas y en varias columnas la ecuación usando & para la alineación
37. &C*(A+X)*B=I \Longrightarrow C*(A+X)=I*B^{-1}= B^{-1}\Longrightarrow A+X=C^{-1}*B^{-1}\\
38. &\Longrightarrow X=-A+C^{-1}*B^{-1}=C^{-1}*B^{-1}-A
39. \end{align*}
40. \item[b)]Primeros resultados:\\\\
41. $C=I \Longrightarrow C^{-1}=I $ de donde $C^{-1}*B^{-1}=I*B^{-1}=B^{-1}\Longrightarrow X=B^{-1}-A$
42. Calculamos $B^{-1}=\frac{1}{|B|}*(B^{\alpha})^{t}$( esta \'{u}ltima significa traspuesta de la adjunta)\\
43. $|B|=1$; $B^\alpha=\begin{pmatrix} {1}&{0}\\{-1} & {1}\\\end{pmatrix}$; $(B^\alpha)^t=\begin{pmatrix} {1}&{-1}\\{0} & {1}\\\end{pmatrix}=B^{-1}$\\
44. $$X=\begin{pmatrix} {1}&{-1}\\{0} & {1}\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} {3}&{4}\\{1} & {2}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {-2}&{-5}\\{-1} & {-1}\\\end{pmatrix}$$
45. \end{enumerate}
46. 
    
47. \section{Problema B }
48. 
    
49. \subsection {Enunciado}
50. Dadas la matriz $A= \begin{pmatrix} {1}&{0}&{-1}\\ {4}&{1}&{-m}\\ {0}&{m}&{3}\\\end{pmatrix}$\\
51. \begin{enumerate}
52. \item[a)]Determinar el valor de m para que $Rango(A)=3$\\
53. \item[b)]¿Puede ser $Rango(A)=1$ para alg\'{u}n valor de m?\\
54. \end{enumerate}
55. 
    
56. \subsection{Soluci\'{o}n}
57. \begin{enumerate}
58. \item[a)]$|A|=3-4m+m^{2}$ para que el rango sea 3 el determinante ha de ser $\neq 0$. Veamos para que valores $|A|=0$\\
59. $|A|=3-4m+m^{2}=0 \Longrightarrow m= \frac {4 \pm \sqrt{16-12 }} {2}=\frac{4 \pm {2}}{2}=$
60. $\lbrace \begin{matrix} 3\\1\end{matrix} $ \\
61. y la respuesta es que tenemos $Rango(A)=3$ siempre que m$\pm{3}$ o $\pm{1}$\\
62. \item[b)]Por el resultado anterior tenemos un rango $\pm 3$ cuando $m=3$ o $m=1$. Veamos cada caso\\
63. Para $m=3$\\
64. $A= \begin{pmatrix} {1}&{0}&{-1}\\ {4}&{1}&{-3}\\ {0}&{3}&{3}\\\end{pmatrix}$ y comprobamos su rango\\
65. $F_2-4F_1 \rightarrow \begin{pmatrix} {1}&{0}&{-1}\\ {0}&{1}&{1}\\ {0}&{3}&{3}\\\end{pmatrix} \rightarrow F_3-3F_2 \rightarrow
66. \begin{pmatrix} {1}&{0}&{-1}\\ {0}&{1}&{1}\\ {0}&{0}&{0}\\\end{pmatrix} \rightarrow$ $Rango=2$\\
67. Para $m=1$\\
68. $A= \begin{pmatrix} {1}&{0}&{-1}\\ {4}&{1}&{-1}\\ {0}&{1}&{3}\\\end{pmatrix}$ y comprobamos su rango\\
69. $F_2-4F_1 \rightarrow \begin{pmatrix} {1}&{0}&{-1}\\ {0}&{1}&{3}\\ {0}&{1}&{3}\\\end{pmatrix} \rightarrow F_3-F_2 \rightarrow
70. \begin{pmatrix} {1}&{0}&{-1}\\ {0}&{1}&{3}\\ {0}&{0}&{0}\\\end{pmatrix} \rightarrow$ $Rango=2$\\
71. \end{enumerate}
72. 
    
73. \end{document}

Y el resultado final