Diédrico. Paralelismo. Perpendicularidad. Problemas Resueltos

De acuerdo con lo anterior (ver problemas anteriores) trazamos la recta r que equidista de tres puntos A, B, C. Tomamos el segmento formado por el cuarto punto D y uno cualquiera de los otros, por ejemplo, A. Trazar el plano α perpendicular a DA por su punto medio M. Hallar el punto P intersección de r con α es la solución.

 Teoría: Sabemos que los puntos del plano perpendicular a un segmento por su punto medio equidistan de los extremos del segmento. Resolución: Por el punto M medio del segmento trazamos el plano  perpendicular al mismo. Hallar el punto P intersección del plano con la recta r. Planteamos un problema concreto: Trazar el punto M punto medio de AB.  Contener M en una recta h horizontal del plano perpendicular a AB. Se traza con h' perpendicular a la proyección horizontal de AB y pasando por M'. La proyección h'' es paralela a LT por M''.  Trazar Vh, la traza vertical de la recta h, y por ella una perpendicular a la proyección A''B'' y tenemos   2. Donde  2 corta a LT trazamos una paralela a h' y tenemos  1. Hallar la trazas de la recta r: Vr, Hr Por r trazar un plano     procurando que las trazas corten al plano  . Hallar la recta i intersección de los planos    con  . La solución es el punto P intersección de las recta i con r.

 1º L.g. de los puntos equidistantes de dos puntos dados.  2º L.g. de los puntos equidistantes de tres puntos dados.  3º Se dan tres puntos A, B, C y un plano α, hallar el punto del plano que equidiste de los tres puntos dados. 1.-  Los dos puntos determinan un segmento. Por el punto medio del segmento trazamos el plano perpendicular. Todos los puntos de ese plano equidistan de los extremos del segmento.(Ver teoremas sobre perpendicularidad en el espacio: “Todos los puntos del plano perpendicular a un segmento por su punto medio equidistan de los extremos del segmento”) 2.-  Tres puntos no alineados en el espacio determinan un plano ψ. En  el circuncentro O del triángulo sería un punto que equidista de A, B, C y es único. Si trazamos los planos que pasan por los puntos medios M, N, L de los lados AB, BC, AC del triángulo y son perpendiculares al plano  su intersección es una recta r perpendicular al plano por el circuncentro. Veamos que la intersección de ...

 Proyecciones de la recta perpendicular común a dos rectas cuyas proyecciones verticales son paralelas.  Consideraciones para más adelante: 1. Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta contenida en el plano. 2. Una recta es perpendicular a un plano si los es a dos rectas contenidas en el plano. 3. Una recta perpendicular a un plano lo es a toda recta del plano. 4. Una recta perpendicular a un plano lo es a todo plano paralelo al dado. 5. Dos rectas en el espacio son perpendiculares si por una de ellas podemos trazar un plano perpendicular a la otra y viceversa. Se trata del mismo problema que el de trazar la distancia mínima entre dos rectas que se cruzan en el espacio. Por un punto P de una de ellas, r, trazamos una recta s1 paralela a s. Trazamos el plano α= Plano (r, s1). La recta s es paralela al α por (1). Trazamos por P una recta p perpendicular al plano α. Las rectas p con s son perpendiculares: Trazando por s un plano β paralelo al α resulta, por (4),que p ...

Hallar sobre la L.T. el punto que esté igualmente alejado de las trazas de una recta dada. (93. Tema 4) Sabemos que: Un plano perpendicular a una recta tiene la propiedad de que todos sus puntos son equidistantes de los extremos de cualquier segmento sobre la recta simétrico respecto del punto de corte de la recta y el plano. Tomemos el segmento de r comprendido entre las trazas Vr-Hr. Sea M el punto medio del segmento. Por M tracemos el plano α perpendicular a r. Busquemos el punto de este plano que sea de L.T y para ello buscamos la intersección del plano con L.T. Que es el vértice V del plano. Para determinar M lo que hacemos es considerar el triángulo rectángulo HrVrK y la paralela media por el punto N en la mitad de HrK => M Trazamos una recta horizontal auxiliar por M y contenida en el plano que buscamos por lo que la proyección horizontal de esta recta es perpendicular a r' por M'. Por donde corte a LT levantamos perpendicular a LT hasta cortar a la proyección horizon...

Determinar sobre un plano α una recta cuyos puntos equidisten de las trazas de otro plano dado β En el espacio: Tenemos un plano   y tenemos sus trazas  1-  2.  Sea V el vértice de este plano. Trazamos sobre  la bisectriz b1-b2. Sea el plano  perpendicular a  por la bisectriz. Se demuestra que toda recta r1-r2 de este plano  que pase por V cumple que todos sus puntos equidistan de las trazas de  1-  2. Lo demostramos: tomemos un punto P cualquiera del plano j y trazamos una perpendicular PQ a b. Desde Q perpendiculares a b1-b2 y tenemos los putos M, N y los triángulos rectángulos PQM y PQN que son iguales ya que b es bisectriz => QM=QN y PQ es común. Esto significa que todos los puntos del plano  equidistan. Luego la solución está en la intersección del plano  con el plano  . Procederemos de la siguiente manera Trazar la bisectriz b. Abatimos   con  1 como charnela =>  0.  Trazar la bisectriz de  1 - 0 => b0 que es l...

  PERPENDICULARIDAD. TEORÍA Puntos del espacio equidistantes de los extremos de un segmento Dado un segmento de extremos AA', consideremos la recta r que lo contiene. Consideremos el haz H de planos de arista r. En cada plano  β ∊  H  tracemos la mediatriz m del segmento AA' que será una recta perpendicular a r por el punto M, punto medio del segmento AA'. Todas la mediatrices son secantes en el punto M y todas son perpendiculares por M a la recta r. Cada mediatriz y en cada plano de H es única. Todos los puntos de una mediatriz equidistan de los extremos del segmento. Sean p, q dos de las mediatrices: por ser secantes y distintas originan un plano α. Probemos que: Todos los puntos de α  equidistan de AA' Sea N un punto cualquiera del plano. Tracemos por él una recta secante a p, q. Sean P,Q los puntos de corte. Los triángulos PQA y PQA' que son congruentes Es decir, existe un movimiento que nos permite llevar uno sobre otro. Por ser movimiento se...

  Desde un punto P cualquiera trazar una perpendicular a una recta r de perfil.   Una recta n'-n'' paralela a LT por el punto P es una recta perpendicular al plano de perfil que contiene a la recta r de perfil y por ello r y n son perpendiculares. Por otro lado trazamos en 3d la recta s perpendicular a r por un punto cualquiera de r. Por P trazamos una paralela m a s y determinamos sus trazas Vm y Hm. Estas rectas n, m determinan un plano a que, uniendo trazas, resulta un plano paralelo a LT por las trazas de m. El plano es perpendicular a r y por ser recta y plano perpendiculares, todas las rectas del plano son perpendiculares a r. Una cualquiera de ellas sería solución. Tomaremos una en particular. Lo que haremos es buscar el punto Q de corte del plano a con r y elegiremos la recta PQ como solución. Para ello trazamos la recta i intersección del plano a con el plano de perfil de r y determinamos Q intersección de i con r. Problema planteado en el libro de Rodrígue...